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第三 大脑动力系统模型及其数学表达（第1页）

第三节大脑动力系统模型及其数学表达

上一节我着重从“静态”的角度分别对人类大脑的形态、结构以及功能作了阐述。这一节将从系统动力学的角度对大脑的整体行为进行某种程度的“刻画”。这样做有两个好处：一是有助于从“动态”方面揭示大脑尤其是大脑两半球之间的动力学特征；二是有助于从“系统科学”的横断面说明大脑作为复杂系统的一般特性，进而为在不同层次系统之间的跨越，敷设一座桥梁。[97]

自20世纪60年代以来，以一般系统论、控制论和信息论为标志的系统科学，70年代以耗散结构理论、协同学、超循环论等为代表的自组织理论，以及80年代以后以混沌理论、复杂适应系统理论等为代表的复杂系统科学的兴起与发展，使人们在描述和刻画系统及其复杂性方面逐步形成了一系列的概念、原理、方法和技术。其中，对复杂动力系统的认知最初源于对气象学中一大堆变量的解释。随后，人们将动力系统看作是随时间变化、可以用一组方程式来加以刻画的系统，并配有一套相应的概念，如状态空间、吸引子、相变和混沌等。具体来说，动力系统可由一组变量来刻画；这些变量服从一组非线性方程，而这些方程建有一个具有吸引子的状态空间，以解释行为的稳定模式等。当然，系统动力学最为成功的解释和应用主要是在气象学、物理学、生物学以及经济学领域，同时在神经科学领域也有新的拓展。

例如，人工智能专家、控制论者M。A。阿尔贝勃（MichaelA。Arbib）指出：“大脑不是线性网络。”[98]计算机科学家J。霍普菲尔德（J。Hopfield，1984）在其建构的记忆模型中将记忆看作是一个系统的动态过程；存放的一个记忆相当于一个稳定吸引子。（见图5-4）

图5-4记忆模型中两个稳定吸引子

该图的黑点位置为一吸引子；黑点以外为不稳定状态。不稳定状态可看成是自由联想中某记忆事物的已知部分。由于动态系统能量函数的变化总是由不稳定的状态朝向局部极值点的稳定吸引子流动，这就相当于由事物的一部分自动联想出整个事物。[99]

在对大脑复杂系统（或复杂网络系统）的刻画中，著名物理学家、协同学的创立者哈肯（HermannHaken）运用他的协同学理论来探讨脑的工作原理。他说：“我们设想，大脑是遵从协同学规律的复杂巨系统，即系统运转在趋于不稳定点处，由序参量决定宏观模式。役使原理架起了宏观层次和微观层次之间的桥梁。”[100]其中，哈肯的大脑动力系统工作模型尤为引人注意。20世纪90年代，哈肯及其合作者着重研究了大脑的相变问题，提出了时空动力学模型。在哈肯等人看来，自组织系统最惊人的特点之一，是它们形成时空模式的本领。他们运用脑电图和脑磁图的时间和空间模式对脑的空间模式进行了实验研究。与之相似，我国学者梅磊等人（1990）也进行了大脑空间模型的实验研究。他们运用CT扫描技术测试不同功能状态下的大脑活动情况，以了解大脑两半球的整体活动。他们发现，左前脑和右后脑分别代表兴奋和抑制的两种极端状态。它们在空间上相互构成拮抗关系和交叉结构，其形状犹如完美的太极图。[101]梅磊指出，这种两极模式及其关系值起着一种协同学中序参量的作用。

在神经网络的研究中，动力学系统的吸引子（attractor）与分岔（bifur）概念起着重要作用。动力系统一般可由微分方程或（和）差分方程式描述其行为。一般说来，神经元的输入输出关系是非线性的，其动力学性能也呈现为非线性特征。当神经元的模型、神经键的连接分布、阈值分布决定之后，这个神经元的动力学特性也就决定了。当某一时刻神经元的状态决定了之后，其状态将按动力学方程发生转移，即向某一稳定状态靠近。这种实际上可观测的状态可称为吸引子。[102]如果吸引子不随时间发生变化，则为系统的稳定平衡点（stableequilibriumpoint）。在这里，混沌表现为一种对初始值的敏感反应及不可预测行为。混沌解的轨迹一般是非整数的分维。

图5-5洛仑兹吸引子轨道

通常，人们对随时序变化的混沌系统的数学描述是采用看似简单的“洛仑兹方程”来进行的。该方程由美国著名数学家、气象学家洛仑兹（EdwardLorenz）在1963年提出的。当洛仑兹在相空间描绘方程的解时，他发现轨道的形式如图5-5所示。刻画方程组之解的点在空间某一区域附近环绕一段时间，而后突然跳到另一区域附近进行环绕，随后再跳回，如此不断反复。这种来回跳动非常不规则。

这里可以看到，除了随着混沌系统对初始条件的改变而增强的敏感性（只要初始条件稍微有些扰动，系统行为的分叉呈指数增长）和行为的不可预见性外，还有吸引子的区域性和历遍性，即处于混沌吸引子的系统受干扰后，人们虽然不可以预言它返回未受干扰状态时的那一个瞬时值，但却可以知道它返回吸引子区域的某个地方，亦即呈现出相空间的一个区域，而相空间的某一区域是完全可以确定的。只要时间足够长，这些运动轨线可以遍历所有空间，而且任何轨线与其他任一轨线是不相交的。[103]

国内学者张一方、杨全（2001）依据哈肯协同学的基本方程，定量推导出洛仑兹方程和洛仑兹模型，并将之与大脑两半球的系统运动对应起来。其具体步骤是：

应用哈肯等提出的大脑场论模型及其方程：

和协同学中的单模激光方程：

此时，b是场的振幅，αμ是原子的偶极矩，σμ是原子的反转数。这一组方程描述激光及其形成过程。当原子的反转数达到一定阈值时，激光才出现。这种自组织现象，就像原子在统一指挥下所进行的一曲美妙的大合唱一样。在实质上可类比于大脑细胞的协同作用。

这样，设b=x，∑αμ=y，σμ=z，则（2）可化为：

当略去随机项F（t）和Γ（t），Γ1（t），并且令z=A-dz，（3）就可以化为洛仑兹方程

两位作者据此认为，正常人的脑电波是混沌的，具有奇异吸引子的行为；大脑两半球的协同运动正好对应于洛仑兹模型中“两翼”之间的左右跳动。在此基础上可形成“大脑协同学”。[104]

人脑神经系统及大脑两半球活动过程的形式化，有助于显示出量化的关系结构，有助于以数学的关系式加以表征。虽然这样做是以“牺牲”一些“质”的方面为代价的，但却能把握大脑活动的某些本质特征，也说明了物质世界不同层次的量的“同构”“同型”关系。