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第一 从黄金分割率的发现谈起（第1页）

第一节从黄金分割率的发现谈起

有关黄金分割率的发现，在流行的科学史或数学史教科书中通常会有如下的记载。

古希腊时期的数学家、哲学家毕达哥拉斯及其弟子最早发现了黄金分割的秘密。他们在研究数学时，常常把“数”看成沙子或小石子，并用它们进行各式各样的数字排列。例如，1，3，6，10这些数叫三角形数，因为相应的数目能排列成正三角形；1，4，9，16，等等，这些数则被称为正方形数，因为用石子表示时可把它们排成正方形。毕达哥拉斯学派还搞多角形数，如正五边形数、正六边形数和其他多边形数。研究表明，毕达哥拉斯学派研究过若干正多面体，尤其是正四面体和正十二面体。后一图形切开一半可成为两个五边形，再分成同样的六个五边形。这样，他们从中得出那有名的五角星形标记[1]，并从中发现“中末比”（黄金分割）。

另一个对黄金分割的发现有重要贡献的人，据说是古希腊数学家欧多克斯。他曾就学于柏拉图学园。他在数学方面的最大贡献是创立了比例论。同时他也系统地研究过中末比问题。据说，他通过数值计算求得中末比的值，但由于其著作已失传而无法确证。学界有人认为，有关欧多克斯的一些结论只能说是一种推测。[2]

倒是古希腊大哲学家柏拉图通过对“五种多面体”（亦称柏拉图体）的系统研究，使我们更多地看到黄金分割与正五边形（正十边形）的内在联系。（见图13-1）并且，他将五种正多面体上升到宇宙起源和哲学高度来认识。他说：“十二面体是被神用来界定宇宙的轮廓。”[3]在这些正多面体中，二十面体和十二面体与中末比的关系最为密切：十二面体中的正五边形可形成正五角星形；二十面体的十二个顶点，以四个一组，分为三组，若使每组的顶点在黄金长方形的各个角上，那么这些长方形是相互垂直的，它们的相交点是二十面体的中心。数学史家推测：“古希腊人对黄金比例的兴趣可能开始于制作这些平面图形和立体图形。”[4]

图13-1五种多面体（柏拉图体）

现在可以确知的是，第一个给出中末比线段证明的数学家是欧几里得。欧几里得对中末比线段以及中末比与正五边形、正十边形、正十二面体、正二十面体的相互关系进行了周密的推演和证明。在《几何原本》中，通常认为该书的第二卷第11命题是对中末比线段的证明，即“分已知线段，使它和一条小线段所构成的矩形等于另一小段上的正方形”[5]。我们还注意到，这个命题中只是间接地提到中末比。正式提出中末比的地方则是第六卷第30命题：“分已知线段成中末比。”此外，《几何原本》中很多地方有着中末比与正五边形、正多面体相互关系的推演证明，即大量的应用中末比于几何命题的证明。如第四卷第10命题：“求作一个等腰三角形，使它的底角的每一个都是顶角的二倍。”[6]也就是做出36°及72°角，从而能做出正五边形及正十边形。该卷中的多次几何论证都涉及正五边形。在第八卷论证十二面体及二十面体时，也大量地运用五边形原理和中末比。

亚历山大时期的大天文学家托勒密在其名著《天文学大成》一书中，给出了极为简单的正五边形作图法，论证了圆内接正五边、六边、十边形边长的关系。[7]（见图13-2）类似这种运用正五边形和中末比方法于天文学研究的，还见诸后来的天文学家哥白尼的《天体运行论》著作当中。

图13-2等边且等角的圆内接五边形

当我们把目光转向东方时，与希腊人同时甚至更早的时期，东方人实际上已经发现并在实践中具体地应用黄金分割率了。我在对中国古代黄金分割率的研究中注意到，中国古代数学已经蕴藏着丰富的黄金分割“金矿”。兹举以下四个方面。

（一）“河图”中的黄金分割。清代著名易学家江慎修（1681～1762）在其《河洛精蕴》一书的卷六中明确指出：“理分中末线出河图中宫。”“中末线”即中末比。他将“河图”中宫十数为股，五数为勾，然后各自自乘，再开方得弦，即求得黄金分割值。为此，江慎修不无自豪地说：“西人秘惜其法，谓此线为神分线，岂知神奇即在目前！”[8]

（二）“洛书”中的广义斐波那契数列。早在汉代，易学家即将九宫数与八卦相配。至北宋时期，道教学家、易学家将十数图、九数图（九宫图）与“河图”“洛书”联系起来。其后，洛书又与古算中的勾股图联系起来。这方面的研究最早可追溯到朱熹等人那里。清代易学家李光地（1642～1718）对此做进一步发挥。我依洛书勾股图式的成数原理，得出洛书勾股图中的广义斐波那契数列或数阵。此数阵每一行都是一个序列，其中第一个序列部分地构成一个中间隔一个数字的斐波那契数列（因斐波那契数列中前一位数与后第二位数之比即为“0。382”），其他序列则构成隔一位数字的广义斐波那契数列；每一序列相邻两数的比值交替大于或小于黄金分割值0。382（尽管不是无限趋近的），即0。375，0。388，0。380；虽然三个数值只是近似值，但三个数值取小数点后7位数的平均值则为0。3816137。[9]

这个连分数分开来表示后，便形成一个斐波那契数列。[12]

（四）“贾宪三角形”中的斐波那契数列。生活在与贾宪年代相差不远的哲学家程颐著有《易程传》。有学者对其中的64卦按所含阳爻数目的多少进行分类。其结果正好是古代数学家杨辉记录的贾宪三角形的最后一层的数据。再对其中按阳爻数目进行组合分类的排列进行统计，又可发现这个分布图与贾宪三角形十分相合。也就是说，从64卦的分布，可以导出一个贾宪三角形。[13]当然，数学上已经证明，贾宪三角形（西方称“帕斯卡三角形”）蕴含有斐波那契数列。[14]（见图13-3）

图13-3帕斯卡（贾宪）三角形中的斐波那契数列

对于中国古代数学中蕴含的黄金分割率，有人或可认为其是后人计算和推导的结果，是一种“暗合”，因为古人可能并没有意识到这一点。对此我想指出的是，东方尤其是中国古代早期数学在发现黄金分割率的途径和表征方式上有其独特性。

我认为，上述观点割裂了数学分支学科之间的内在联系，忽视了黄金分割作为数学本体所具有的丰富内涵。事实上，黄金分割问题的研究与发现始终是一个不断被发现的过程。除了前述的数学家在黄金分割发现方面所做的工作之外，还有不少数学家甚至天文学家也做出了实质性的贡献。例如，被称为“天空立法者”的近代德国著名天文学家开普勒在研究五种正多面体的过程中就独立地发现了类似“斐波那契数列”的数列。他说：“也有一些比例无法用整数来表示，而只能通过一长串整数逐渐逼近。如果这一比例是完美的，它就被称为神圣的，并且自始至终都以各种方式规定着十二面体的结合。因此，以下这些和谐比例1∶2，2∶3，3∶5，5∶8是导向这一比例的开始。”[17]这也就是说，这些数列如果无限发展下去，它的比值就将接近黄金分割数值。由于对这一数列的高度重视，开普勒将中末比称为“神圣比例”或“比例分割”。在开普勒大约一百年以后，苏格兰数学家罗伯特辛森进一步证实了斐波那契数列与黄金分割的关系（尽管是不完全的）。对于斐波那契数列中每个数都等于前两位数之和的通性，数学家阿尔伯特·吉拉尔在1634年将其表达为Fn+2=Fn+1+Fn关系式。[18]到了18世纪，最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是数学家欧姆（MartinOhm）。他在其《纯粹初等数学》一书中使用了“黄金分割”。但他在此书的第一版用的却是“连续比例”。[19]还特别值得一提的是，数学家卢卡斯在斐波那契数列基础上构造了“广义的斐波那契数列”或“卢卡斯数列”。该数列（1，3，4，7，11，18…）的一个重要性质是相邻两数的比值大小交替地无限趋近于黄金分割数。现在，卢卡斯数列（序列）与斐波那契数列（序列）合并被称为“F-L序列”。它几乎渗透到数学的各个分支，如数论、代数、组合与图论、计算机科学、微分、差分方程、数值分析、运筹学、概率统计、函数论、几何学等领域，显示出强大的生命力。[20]例如已证明，帕斯卡三角形（或“贾宪三角形”）与概率的内在联系。[21]在非线性科学中，非线性耦合条件最喜欢的锁相频率与法拉里序列有关。而法拉里序列数中的分子和分母恰好就是斐波那契数列。[22]这些都说明，黄金分割的表征形式是多种多样的。

在早期数学中，黄金分割率至少有两种表征形式。一为几何的，二为算术和代数的。就后者而言，这种数学方法最早或最容易触及无理数。而在无理数当中，黄金分割数是“最无理”的。这实际上在昭示人们，那些最早接触到无理数的民族有可能是最早接触到黄金分割数值的民族。或者，这些民族的数学中已经内在地蕴含有黄金分割率。[23]当然，由于计算方法和计算手段的限制（如中国古代的筹算体系的限制），当时的人们难以通过大量的计算活动来发现数值计算中的某些规律或规则[24]；即使发现了某些规律性的东西，对于以实用为目的古代数学来说，似乎也没有多大的用处。这也妨碍了以算术和代数为主要形式的中国古代数学对黄金分割问题的研究与发现。另一方面，由于无理数的概念并不是经验事实的直接反映，也不是当时的计算容易得出来的，而理论推导却提供了便利的手段。因此，古希腊数学家建立的公理演绎体系就充分地发挥作用了。在他们那里，用证明的方法通过作图在数轴上可以简单地确定无理数的位置。这就是使无理数成为与直线上的单位线段具有不可通约的长度的量；由于无理数概念的前提是有理数，若要判断某一数是否为无理数，只要证明该数不是有理数即可。这说明，在发现和证明黄金分割率方面，东西方数学方法各有所长。

通过对以上个案的分析可以看出，东西方数学在黄金分割的发现（与证明）的数学方法上分别呈现出“算”与“演”的各自偏向。现在一般认为，东方（中国）古代数学是以算法为中心，以解决实际问题为目的，具有数值化、机械化和实用性等特点的数学体系；古希腊以降的西方古典数学则是以几何证题为中心，在系统的公理化体系基础之上，以严密的逻辑推演为其特点的数学体系。这两种知识体系和数学方法（即计算与演绎），可以看作是一块“金币”的两面。这在前面章节已有论述。[25]在此我想要强调的是，这两种数学知识体系和数学方法分别与不同的认知方式有关。如果上升到哲学的高度来看，它们可能分别代表着两种“先验感性形式”、两种不同的认识路线和本体论承诺。下面，我略作一些分析和评论。

前文中，我曾引用康德的观点。这个观点认为，空间和时间是人类感性直观的两种形式，是纯粹数学的一切知识和判断的基础。它们分别对应于几何与算学（算术）。但康德强调说，这两种形式是“纯直观”的，是先于一切经验的东西；当从物体的经验的直观中去掉一切经验的东西后，剩下的就是这种所谓纯直观的或感性形式的东西了。在这里，我们要问的是，为什么纯粹数学需要这样两种形式，为什么这两种形式的代表分别是几何与算学。康德的回答是，纯粹数学只能在纯直观中建立起来；在那里，不仅概念构造得以进行，而且纯直观可以为先验综合判断提供质料。例如，两个图形是否全等（其中一个完全能够放在另一个的位置上），不是通过概念分析推论出来的，而是通过纯直观的“综合”而得来的（这个纯直观提供的整体空间绝不能多于三维）。这种纯直观使综合的数学命题成为可能。由于空间不是别的，只是一切外在现象的形式，而这种形式只有通过纯直观的方式才能把握；因此，由感性直观所通达的东西只能是几何学所规定的东西。[26]换句话说，几何学就是有关空间形式或空间直观形式的科学。在这个空间形式中，几何命题是必然有效的。

我认为，康德有关人类感性形式中纯直观与几何的关系的论断，是极富启发性的。这一观点不仅从数学中概括或引出空间范畴形式，而且找到了这一范畴形式与人类认知活动的关系；如果没有对一般数学特别是几何的深刻理解，是做不到这一点的。诚如他所言，几何空间涉及的是感官对象的“样式的表象”“外在现象的形式”等方面，而不是物自体本身。它们都构成数学概念生成和推演证明的基础。当然，康德的理解和论证不是没有问题的。这主要表现在他对“直观”的理解与界定上。按康德的说法，直观是与感性知觉相联系的，不论直观多么纯粹，它总是含有感性知觉的成分在内。因此，人们可以在表象中设想一条直线延长到不限定的或者把一连串的变化延续到无限，但实际上，直观的对象总是单个的。虽然我们可以理所当然地“直观”到两条平行的直线可以无限地延伸下去，但在知觉和表象的实际状况和条件下，两条平行线，如铁轨，看上去似乎是相交在某一个平面（地平线）的点上的。也就是说，感性知觉形式并没有构成欧氏空间的基础，至少不是唯一的基础。因此可以肯定，康德的空间感性形式并不完全是直观的结果，其中已经蕴含了概念性的构造，或其他观念性的东西。他的直观至多只能算作理智的直观或“心灵之眼”的直观。所以，“构造一个概念，也就是先天地展示与该概念相应的直观。因此，一个概念的构造需要一种非经验的直观，这种直观因此作为直观是一个单个的客体，但尽管如此作为一个概念（一个普遍的表象）的构造却必须在表象中表达属于同一个概念的一切可能直观的普遍有效性”[27]。这里说的“单个的个体”就是几何命题证明中画在纸上的图以及相应的辅助线。虽然直观跟随在这些图形及辅助线的解释中，但任何图形（如纸上所画三角形）都不等于一个概念性的图形（如三角形）；心灵所专注的只是那些概念性的行动或者表象中的普遍性的东西。既然如此，又何必将“概念”与“直观”，“先天性”与“经验性”等如此紧密地缠绕在一起呢。我同意美国数学哲学家斯图尔特·夏皮罗（Steiro）的如下观点：“康德的观点可能错在把先天性和必然性这样一些困难的问题和费解的概念换成了涉及直观的更困难的问题。”[28]

另一方面，康德认为算学是表征时间范畴的，又是综合的，应当说，是有依据的。因为计算活动是在时间里把单位一个又一个地加起来或进行其他运算而产生的。简单地说，计算活动需要在时间中进行。美中不足的是，上述观点将时间概念的生成看作是内感官或直觉的产物，切断了时间与感性经验的直接联系。至于综合，7+5=12这个命题就是综合命题。先取7这个数，然后通过五个指头与五个单位获得一种直观，并借助手指的形象，再把五个单位逐一加到7的概念上，最后得到12这个数。这当中，两个数之和扩大了我们的概念。因为它在7+5这个概念里增加了一个原先没有想到的概念——12。在这个意义上说算学是综合的，是有理论根据的。但是与处理空间和几何的关系一样，尽管康德意识到算术与几何的区别（如他认为不存在算术论证，而欧氏几何有“证明”），但他依然从先验感性形式出发，坚持认为算术命题是依据类似于空间形式的时间形式而作出的“先验综合判断”。也就是说，算学的综合命题并没有与人的感性活动和经验世界有更多关联。果真如此吗？细致的分析不难发现，康德的两种直观形式的确立虽然分别取材于几何与算术，但却是以几何尤其是欧氏几何为“模板”来看待算术的，或者说他忽略了算术的基本性质与功用（指认知方面），而把依据几何命题形式对直观的理解简单地推广到对算术的直观的理解方面。例如，他简单地认为，算术命题也是按照主谓判断的形式构造的。

如果我们真正从算术认知的起源及其基本特性出发，就会看到算术与几何之间的诸多不同方面。其中一个方面就是它与人的感性活动和经验世界有更多的关联；其中视知觉作用特别突出。人类学家列维-布留尔以自己对原始民族的观察结果为例，指出：“数是在性质上被感知的，或者说被感觉到的。”[29]心理学家鲁道夫·阿恩海姆根据自己的研究证明：“数字是一种知觉实体或一种视觉对象。”[30]与被感知的事物（个体的集合）常常是不分离的。同时，数（数量关系）最初又表现为“身体数”。例如，最早的“数”通常都是5，10或20为一组，这显然与早期人类以双手、双趾称数和计数有关。关于这一点，发展心理学研究表明，在儿童计数活动中，常常是以手掌为计算工具的。数学史家们还发现，在印欧语系中，“五”和“手指”这两个词具有相同的词源；在英语中，“digit”（数字）也可以指一只手或脚趾。[31]同样，计算活动最初也不是根据定义和推理而来的，它是从感性活动甚至是从直觉中获得结果的。例如，人们根据“身体数”来数数时，实际上已经有了“加法构成”的原则，即把这些数看作是一个集合，一个整体。

经验主义主义者提供了有关数字、数量以及算术的某种性质的哲学分析。例如，英国逻辑学家、经验主义者J。穆勒（J。Mill）曾谈到算术的感官经验的来源。他说，可以通过向我们的眼睛和手指表明，一定数量的任何对象，比如说十个球，虽然可能由于分离和重新排列，向我们的感官展示出所有各种不同的数目组，但其总和仍然等于十。他认为，算术命题和定义不是逻辑学意义上的；它们不仅确定了一个表达式的意谓，而且也因此断定了一个观察到的事实；计算不是从定义本身，而是从观察的事实得出来的。其中，简单的加法，从我们一开始与世界打交道时就被确证了，它不可能是什么“先天”的东西。物理学家、数学家赫尔姆霍茨也说得明白，只有经验能告诉我们算术的法则在哪里，是某些经验启发了通常类型的数、整数、分数和无理数及其性质。[32]还是“自然辩证法大师”恩格斯对此有深刻的理解。恩格斯很早将“经验论”与用“数学计算的形式来思维”联系在一起。[33]他说：“数学演算适合于物质的证明，适合于检验，因为它们是建立在物质直观（尽管是抽象的）的基础上的；而纯逻辑演算只适合于推理证明，因此没有数学演算所具有的实证的可靠性——而且其中许多还是错误的。”[34]这里，恩格斯将“数学演算”与“逻辑演算”作了严格的区别，其含义是深刻的。

我的理解是，物体基本上是几何的形象，运动物体的路线则是曲线。虽然两者均来源于事物（现象），但前者侧重于空间形式方面，并且是相对静止的，是易于为理智的抽象把握的东西；后者则易于导出数量知识。因为数量的计算反映着事物的运动变化，而变化着的事物（现象）一方面蕴含时间的属性，另一方面显现事物间的相互关系；只有那些最易于反映和表征这些属性和关系的心智系统和范畴系统才能真正把握变化着的对象。显然，与感性经验保持较短距离的数量关系形式、算术或算学方法，能够做到这一点。也就是说，“就算术是对事实的一种表示而言，我们关于数的普遍直观以及在计算、排列次序和收集事物方面的经验是算术的基础；从我们根据世界上实在的运算来解释算术符号这个意义上来说，算术肯定是事实的一种表示”[35]。这样，从具体计算方法到一般算法的形成，不仅标志着数学知识的积累，而且反映着主观与客观的统一，即算术还提供一种检验认识的方式。它通过对经验事物实际数量关系的计算或演算求得经验事物与主观推断是否一致的计算结果。日本学者佐佐木力（SasakiChikara）基于近代计算数学的发展，认为近代数学实际上是伴随着所谓“准经验”（quasi-empirical）的增长而产生的。由于经验计算的可变性，这种数学也是一种“时间依赖”的数学，它是数学发生革命的前提之一。[36]

在当代，不少数学史家和数学家注意到几何与算术的上述基本区别。例如，数学史家M。克莱因认为：“几何是讲究演绎的，而算术和代数则可以依据经验或直观启示。”[37]数学史家雅各布·克莱因（Ja，1968）在他的《希腊数学思想和算术的起源》中指出，古代的数的概念和现代的数的概念之间是有差异的。对于古人来说，数始终是一个有关此物或者彼物的数；它始终是某种明智的量，始终指涉一组存在物。[38]数学家哥德尔在1944年的论文中也指出，初等算术的那些基本等式和不等式，有一种“无可争议的显然性可以最贴切地比拟于感性知觉”[39]。注意，这里讲到的算术的经验性和算术直观是从算术或计算活动（量的关系）的认知起源意义上来谈论的，更多地是指初等算术。也就是说，我们谈论的计算活动或量的直观仅仅限于一些初级的算术活动范围以内；那种超出此范围以外的数量巨大的数量关系和复杂计算活动则不在此列举中。因此，像逻辑学家弗雷格那样依据超越直观的数量关系，将算术命题看作是分析性的观点，是将算术命题形式化或将计算活动逻辑化的结果。这种关系类似于早期的算术活动与早期数论的关系。[40]

如果我们承认几何因其概念性的强调以及对推理证明的重视而倾向于逻辑的方面，算术和计算活动因其对感性经验的强调而倾向于经验的方面，那么，几何与算术的关系不仅指空间与时间两种形式和范畴，而且指涉逻辑与经验的关系，因而可能触及数学的本质方面。[41]正如著名数学家柯朗（R。t）所说：“一般与个别、演绎与结构、逻辑与想象之间的相互作用，是活数学的深刻本质。一般地说，这样一种发展，要从‘具体的’基础出发，然后经过抽象抛弃砂石之类的压舱物，升向易于航行和观测的空气稀薄的高层；在飞行中接着会出现决定性的试验，以便抵达特定目标：从新的角度来俯瞰由个别‘实在’所形成的原野。简单地说，进入抽象性的一般性的飞行，必须从具体和特定的事物出发，并且又返回到具体和特定的事物。”[42]确实，除了那些数学本体论中的柏拉图主义者，许多数学家和数学哲学家通常会同意这样的观点：不论数学概念和演算多么抽象，它们总是与实在保持着某种或近或远的距离。数学作为一种认知活动和思维创造活动从根源上来说总是与外部经验保持这样或那样的联系，并能对其进行实在论的分析。大体上来说，这种分析不外乎外部实在的“形”和“量”两个方面。而且也只有在感性经验中人们才能获得外部实在的各种数量关系和空间形式。只是到后来，随着对这些关系和形式进行概括与抽象，人们才获得了数量关系和空间形式的各种质的规定性，并进而将这些规定性以符号的方式固定下来，使之成为一种远离外部实在的形式化系统。然而，不管这种数学与外部实在的距离相隔有多远，它与经验或外部实在的关系从根源上说，是无法割断的。由此不难理解，在数学史上，首先形成的是算法思想。这种数学直接源于人们的实践活动。正如林夏水先生所说：“一般说来，凡是算法思想占据主导地位时，数学研究着重于解决社会实践提出的数学问题，开辟新领域，积累新的经验知识；凡是公理法思想占据主导地位时，数学研究着重研究如何把数学的经验知识上升为理论知识（公理系统），以及从逻辑上解决数学自身的理论问题。”[43]