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第二 两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析（第2页）

图中点O为圆心，AB为内接正n边形的一边，C为弧AB的中点，因之，A边形的一边。注意到AB⊥OC，考察直角△AOG，其中，“弦”OA为半径，“勾”AG则为边AB的一半，即

因而“股”长

进一步考察直角△ACG。这里“小勾”

|GC|=|OC|-|OG|

而“小股”AG为直角△AOG的“勾”，从而可求出“小弦”

此即内接正2n边形的边长。

再注意到

结果有

内接正2n边形的面积=AO

当然，对于割圆术中“割”到96边形后，是否还要继续往下“割”，刘徽是有自己的考虑的。在“阳马术注”中，刘徽甚至还说“安取余哉”，认为对“至细”“无形”的东西，可以舍弃不要；至于求微法中，刘徽也说过“不足言之”的话。这些似乎表明刘徽并没有明确的极限思想，并与他的“合体而无所失”目标有所背离。对于这些看似矛盾的观念，确实需要做一番说明。如果仅仅停留在切割几何图形的论证上，似乎与安提丰等人的论证非常相似。然而刘徽的高明之处在于，他对极限过程的逼近是建立在算法或数值计算基础上的，即把几何问题转化为计算问题，通过数字计算求得正多边形面积对圆面积极限的逼近。如同样是在割圆术注文中，刘徽说道：“觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。觚而裁之。以一面乘半径，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。”（《九章算术·方田圆田术注》）这就是证明。而所谓“则朱幂虽有所弃之数，不足言之”是指，“微数”只要达到一定的精确度就可以停下来。至于何时停下来，则出于实用的考虑：如果计算过程对实际问题的解决并没有太大作用，即使是非常精确的数值也是没有必要的。这样，与其说刘徽强调了“有限”，不如说他朦胧地意识到了有限和无限的辩证统一。无限是可以通过有限来显现的。因此，不能因为刘徽出于实用的目的把“有限”作为处理问题的“权宜之计”而忽视他对无限、极限的深刻洞察和理解。[86]

在圆锥和球的体积的“证明”中就体现了这种算法特征。刘徽还采用所谓“阳马术”，即“阳马与鳖臑体积之比为二比一”，而且，这个分割过程是可以无限地进行下去的，而所余部分越来越小，且随n→∞而趋于零，但“阳马与鳖臑体积之比为二比一”一直成立。受刘徽关于体积计算的启示，祖冲之、祖暅父子借助于“牟合方盖”计算球体体积的方法解决了球体体积的计算问题。有学者认为，“祖暅原理”中“幂势既同，则积不容异”的观点蕴含着意大利数学家卡瓦列里“不可分量”的思想。吴文俊指出，卡瓦列里的原理实际上在祖冲之、祖暅父子的工作中就已经表现出来，而时间上却早了1100年。[87]此外，李约瑟在他的《中国科学技术史》一书中，还列举了沈括的“造微之术”以及周述学在《神道大编历宗算全》中给出的在角锥内把球累成十层的图解说明等，认为中国人“有一些关于无穷小、穷竭法和微分的概念的基础”[88]。

在认知方式上，刘徽等人注重发挥类比思维、形象思维的作用，是一大特色。例如，刘徽割圆术就受到司马迁“汉兴，破觚而为圆”之说的影响，其原型乃是工匠把带有棱角的原材料加工成圆形的做法。[89]对于《九章算术》“勾股章”葛缠问中求葛长的问题，刘徽先用笔管缠青线模拟葛缠术，然后解开来看，发觉每周之间都相间成勾股弦（笔管的周长和线两圈之间的距离分别为股和勾，线一周的长为弦）。由此他解释了《九章算术》以木长为股，木围的七倍为勾，然后求弦，便得到葛的长度的合理性。[90]通过这种把“曲”拉为“直”的类比，刘徽获得了由“曲”到“直”的认识，并由此确立了一种认识论信念，最终形成“引而申之”的认知路径。这当中，自然时有语焉不详，或只是满足于类比直观即可的不足。但联系到刘徽“凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率”以及“推理以辞，解体用图”等说法，可知刘徽在割圆术、阳马术中充分发挥了形象思维的作用。他既重视类比推论，也重视图形直观，追求“数”与“形”统一，没有希腊人那种脱离实际的纯逻辑的形式主义弊病。

再来看看古代印度学者与中国古代数学家相近的方法。数学史家M。克莱因从数学的角度指出，印度人注重数学的算术计算方面，并在这方面做出了突出贡献。他们称数学为伽尼达（ganita），意思就是“（计）算（科）学”。并认为印度人不像希腊人那样细腻，他们看不出无理数概念所牵涉的逻辑难点，并且把适用于有理数的运算步骤用到无理数上去。他们的整个算术完全独立于几何。[91]由于这一特点，印度数学处理微积分的方法同样是算法的。例如，印度人认为直线图形与曲线图形没有什么本质的区别，都是可以用数来度量的，并且主要是用算术度量，而不是几何和关于面积贴合的研究。甚至相比较而言，印度数学家在解决计算球的面积和体积问题上比中国更有优势。例如，他们一直致力于将曲面转化为直线型物体，并按照印度人求几何图形面积的方法，将弯曲的曲面分解形成无数个小曲面。由于分解的个数无限多，所以小曲面可以被直观地看作是平面图形而加以计算。正是基于这一点，数学史家斯瑞尼瓦森格（ivasiengar）认为，婆什迦罗在求解球的问题时，肯定使用了极限的思想。基于此，他认为婆什迦罗才是发明微积分的先驱。[92]公元八世纪，印度耆那教徒维拉圣奴（Virasena）在其数学著作中给出圆台体积的准确公式。其推导过程很别致：设圆台上下底直径为a，b，高为h。先考虑挖去以a为直径、h为高的圆柱，然后把空心圆台掰开，展成有相同体积的五面体（《九章算术》中称之为“羡除”），再用类似于刘徽在求鳖臑体积公式中所用的无限分割方法，把这个立体体积归结为一系列由体积构成的无穷数列之和，即把空心圆台体积视为其部分之和的极限。[93]

卡普兰指出，虽然印度人并不是0的最早发现者（一种观点认为苏美尔人以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，并引入“空位”概念），但是印度人使0的含义更接近于数字的含义（而不只是使用各种名称来表示0），即使之具备数字和计算的性能。这对于后世微积分的发展史有重要意义。卡普兰写道：“在发展我们知识的时候，零给予了我们最大的帮助。感谢微积分，在我们使用任何约定时，零处于支配地位并给我们带来巨大的方便。”[97]事实上早在拿破仑时代，数学家拉普拉斯就已经指出，对微积分来说，“0”的概念和数字符号具有至关重要的独特作用。他说：“印度人用10个符号赋予我们表达一切数字的天才方法，每一个符号都获得一个绝对价值和位置价值。这个极其深刻而重要的思想表面上简单，致使我们忽视其真正的功绩。正是由于它使一切计算简单而容易，所以我们的算术才进入了最有用的发明前列。如果我们记住，古代两位伟大的天才阿基米德和阿波罗尼奥斯竟然忽视了‘0’的概念，我们就充分认识到这一成就是多么伟大了。”[98]哲学家黑格尔也说，微分可以当作真正的零来看待和对待。[99]美国科普作家阿西莫夫甚至不无遗憾地说：“阿基米德的穷竭法其实是积分运算的前身。如果若干世纪后，哪位慈善家能够通过‘时空隧道’把阿拉伯数字赠送给他的话，阿基米德也许会在牛顿之前两千年就发明出微积分。”[100]这里所说的阿拉伯数字自然包括了印度数字。列举这些学者的论断，只是想表明，包括0在内的印度数字和印度算法思想对于近代微积分的重要价值。

总的来看，构成微积分的一些基本概念源于自然和经验本身。例如，运动的观念、可变性的观念、连续性的观念等，都是从质朴的感性经验中提炼出来的。而东方人的算法思想和认知方式能够较好地满足经验性的需要，能够很好地刻画事物的可变性。例如，位值制和记数符号能够指向“变化”的方面。这也就是为什么古代微积分的发展更倾向于东方算法思想和算法数学的重要原因。因此，微积分要获得发展，必须回归“算法”之路。对于西方数学来说，要形成近代意义上的微积分，必须接纳东方特色的微积分形而上学和微积分数学方法[101]，以及由此形成的认知方式。

三、东方算法思想和数学方法的西传及其影响

近代微积分理论的形成除了经济、社会因素以外，文化的因素也是不可或缺的。文化的因素包括数学思想、数学方法和认知方式等方面。在阐述欧洲近代微积分理论形成之前，有必要简要介绍一下东方算法思想和数学方法的西传，以及西方数学概念体系和数学方法体系所发生的相应的嬗变。自然，这种介绍不可能是全方位的。我仅就一些关键性的地方作些介绍和说明。正如D。普赖斯所说：“理解科学在当今世界中的位置，就必须追溯它不断延续的历史，以抓住一些关键时刻。而这些时刻并非一定是指重要的发现或重大的进步，而是指人们不得不采用新思想或在思维中注入新因素的那些转折点。”[102]对于新欧洲开始以来的数学来说，这些“新思想”“新因素”包括十进位小数、0的概念与符号、代数求解、坐标几何等，也包括由上帝、虚无的重新认识和理解。下面，我先简要地勾勒东方算法思想和方法传入西方的过程。

当然，对印度—阿拉伯数字西传做出重要贡献的则是中世纪意大利数学家斐波那契。在早年，斐波那契随父在北非师从阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算盘书》（亦译作《算经》，LiberAbbaci）一书。该书最大功绩是系统介绍了印度—阿拉伯数字及其记数法。其重要性表明，欧洲旧式数字运用“已经成了前进道路上的绊脚石；相反，印度—阿拉伯数字却打开了这一通道”。萨顿甚至称《算盘书》为“欧洲数学诞生和走向复兴的标志”[106]。

作为东西方数学交流居间地带的文明体，阿拉伯地区的数学也具有算法的倾向。这里要特别提到的是中世纪阿拉伯伟大的数学家花拉子米（al-KhowarizmiMohammedibnMusa）。他著有《印度算术书》和《代数学》两部重要数学著作。前者被认为是以印度数码表示的十进位值制记数体系及其运算方法传入欧洲的开端，后者则讨论一次、二次方程的解法，被西方认为是代数学的始创。花拉子米还著有《积分方程计算法》，这本书一直是中世纪欧洲各大学主要的教科书，并沿用到16世纪。从历史贡献的角度来看，花拉子米的工作恢复了巴比伦和印度的传统。因为他把量作为“纯粹的”数而不是作为几何量来进行处理，并且把解题议程归结为一些运算程序即算法。我们今天讲到的“算法”（algorithm）一词就是由这位作者的名字演变而来的。总的来看，阿拉伯人丰富了东方式的算术和代数学宝库。另一方面，在长达大约四个世纪的历史进程中，阿拉伯世界保存了希腊数学传统，并发展了代数方程求解的几何方法。毫无疑问，中世纪伊斯兰文化和阿拉伯的计算数学对希腊数学的转向起到了积极的作用。

图13-6东方算法思想的西传以及西方的接纳

国内的研究也证明，阿拉伯的“hisabalkhatayym”（所谓“契丹算法”）来自于中国的盈不足术。中国数学史家钱宝琮很早就主张“khatayym”是由“契丹”一词的音译转化而成的。而“契丹”一词历史上是指中国的北部。因此很有可能，“契丹算法”这一名称是随西辽迁移而带到中亚地区的。[111]吴文俊则认为，花拉子米《代数学》中处理几何的方式与中国古时几何问题中常用的切割术或所谓出入相补方法不无类似之处，即将几何问题代数化，再转变为方程问题来求解。他还引用李约瑟的考证，证明花拉子米在公元842～847年曾出使波斯以北并充当东西方商业要冲的西突厥可萨国，而可萨国通中国语，行中国礼仪。[112]最近的研究指出，阿拉伯数学家萨玛瓦尔在其博采众家之长基础上形成的数学著作《算术珍本》中，用了整整一个章节讲解如何用盈不足术解线性方程。可以推测，这是盈不足术源于中国的重要佐证（因阿拉伯文献中关于盈不足术的最早记载是花拉子米所著的《盈不足算书》，而该书没有流传下来）。[113]

我们再看东方算法思想和方法融入西方以后所出现的一些情况。随着公元11世纪开始的拉丁学术的复兴，西方世界出版了大量有关计算、算术的书籍。虽然在斐波那契之后的相当长的时间里，西方数学界没有他的继承者，但是到了14世纪，情况开始有了转变。到1500年，0已经被西方人接受为一个数；随后意大利人文主义者、数学家帕乔奥里（LucaPacioli），日耳曼数学家施蒂费尔和工程师西蒙·史蒂汶等人按照印度人和阿拉伯人的传统使用无理数，并引入了种类越来越多的无理数。其中，史蒂汶在他的《十进算术》中提倡用十进制小数来书写分数并对它们进行运算，而反对用六十进制。又如，作为微积分先驱者之一的开普勒也广泛地应用对数和十进位分数，且热情地传播这方面的知识。其后，笛卡尔部分地接受了负数，并把方程的负根称作假根（直到17世纪以后，大多数欧洲数学家才心安理得地使用负数）。

除了接受东方算术和初等代数，欧洲人也结合自身数学的一些特点，做了一些融合与改进工作。在当时对于习惯于严密的逻辑推演和几何证明的欧洲数学家来说，算术和代数被看作是缺乏严密性的：算术和代数可以从几何得到逻辑证实，而代数不能代替几何或与几何并列。因此，许多人或者反对把几何与算术和代数混淆起来的做法，或者尝试着将算术和代数纳入到几何之中。前者如泰塔格利亚（Nicclia）。他坚持要区别数的运算与希腊人对于几何物体的运算；并对16世纪数学家对《几何原本》的翻译不加区别地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）两字，表示不满。在他看来，前一个字是属于数的，后一个字是属于几何量的。[115]后者如施蒂费尔，他对传入的数字系统进行了某种程度的改造。例如，0的意义已经被改变了。因为它成为一个线性系列中作为分割+1和-1的手段，即它以一种完全非印度的关系意义被吸收到西方数字世界当中。不仅如此，在《整数算术》一书中，施蒂费尔认为算术序列和几何序列本质上是一致的。只是他当时没有采取指数表示法的形式，因而其工作显得过于烦琐。为弥补这一不足，数学家耐普尔（J。Napier，1550～1617）在《奇妙的对数》一书中提出了指数表示法。[116]

改进工作最明显的要算现代意义上的代数学的产生。虽然16世纪西方数学的重大进展一开始是体现在了算术和代数方面，然而随后的发展就不再是简单的传统算术和代数了，而是代数的一般化和符号化。例如，早在法国数学家韦达（F。Viète）的工作之前，数学家卡登（J。）等人已经通过解出三次和四次方程的许多例子以寻求并获得用之于一切情况的方法。约在1590年，韦达注意到algebra（代数）一字在欧洲语言中没有意义，主张摈去不用，而建议用analysis（解析）字样。[117]虽然他的这一建议没有被采用，但他以实际工作为传统代数学注入了新的元素。这个新元素就是抽象量的代数符号。随着韦达符号体系的引入，代数学在性质上发生了重大的变革，它是以后几个世纪中解析几何和微积分发展的必要条件。因为它使变化性和函数关系的概念进入了代数领域。从此，代数成为一门真正的、独立的科学；西欧代数依赖于几何的状况开始逆转。[118]

图13-7费马和笛卡尔的纵坐标几何

当然，笛卡尔和费马的解析几何最终表明，在数学构造中，代数与几何具有内在的联系，它们之间是相互影响的。或者说，“坐标几何把数学造成一个双面的工具。几何概念可用代数表示，几何的目标，可通过代数达到。反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论”[121]。这种“双面”性的作用，正如拉格朗日后来在《数学概要》中所说的：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”[122]

上述嬗变也可以看作是认知方式的转变。我认为，这种转换了的认知范式就是拉卡托斯意义上的“准经验”认知范式。佐佐木力在题为《数学中发生了革命吗？》的演讲中，用库恩的范式理论和拉卡托斯的“准经验”概念分析了近代欧洲代数思想方法（mannerofalgebraig）的形成和发展过程，并认为到17世纪时，一种新的数学范式或数学革命已经形成。这就是“准经验”的数学范式的确立。相对欧洲传统数学，这种范式的确立，无疑是一场革命。他指出，微分计算（differentialcalculus）被称为“Algorithm”，其拉丁语“Algorismus”来自于阿拉伯数学家花拉子米的名字，而莱布尼茨似乎使用了这一词汇来表示他的新的微分符号（symboliccal）。从某种意义上说，正是通过阿拉伯的数学或东方的算法思想和方法，莱布尼茨实现了一次数学革命或者说是一次数学范式的转换。[128]持类似观点的还有数学家J。格瑞宾勒（JudithV。Grabiner）。他曾指出，“数学革命”（mathematicalrevolution）在历史上曾经多次发生过。例如，古希腊的几何学曾为来自经验科学的数学所改变，后来又被非欧几何和代数学所改变，特别是在18、19世纪，它们主要聚焦于数学的计算方面。这种革命性的变化表明，数学真理也是“时间依赖”的。[129]这种时间依赖，无疑具有经验性的特征。

伴随着东方算法思想和数学方法的西传，东方人关于微积分的思想和方法也传播到西方。从17世纪以后，原本跨越两大文明板块的两种微积分概念体系和数学方法被集中地展现在欧洲数学舞台上；它们被交织性地运用于微积分理论的创造过程中。这里既有概念的变化、数学方法的变更，也有认知方式的转换。这其中，某些数学家可能更倾向于或更擅长于算法的思想和方法，另一些数学家则更青睐传统的几何证明的方法，而更多的数学家则是两种概念体系和两种方法交替使用（这时我们在他们的数学研究中很难简单地区分何者是算法的，何者是几何的）。不管怎样，有一点是肯定的，即这些数学家都为微积分理论的创立做出了自己应有的贡献。

关于数以及数量的变化（数的计算）对改变数学观念方面的作用，莱布尼茨有过一个很好的论证。他说：“在数方面的观念，是比在广延方面的观念既更精确又更恰当地彼此区别开的，在广延方面，我们不能和在数方面一样容易地来观察大小的每一相等和每一超过量，这是因为在空间方面，我们不能在思想上达到某种确定的最小，在此之外不能再前进的，如同在数方面的单位那样……因为要清楚地认识大小就得求助于整数或其他靠用整数知道的（量度），因此就要对大小有一清楚的认识就得从连续量又再来借助于分离量。”[131]这里的“分离量”就是以整数表示的量，它具有离散的特征，能够表示几何连续量所不能表示的量的关系。也就是说，人们过去无法谈论的无限问题可以通过算术计算的工具来加以讨论。当然并不限于整数的量。

必须承认，即使这个时期的许多欧洲数学家十分青睐东方的算法思想和方法，但他们一刻也没有完全放弃他们习惯的几何方法。即使是苏依塞思，他有关变化问题的尝试终究没有离开几何直观这一媒介的帮助。其主要后继者——牛津大学默顿学院的一批逻辑学家和自然哲学家们，包括奥雷姆（。布雷德沃丁（ThomasBradwardine）等人，对“形态幅度”（latitudeforms）以及与之相关的“无穷级数”问题进行的研究几乎完全采用几何的方式表述。