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第二 两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析02（第1页）

第二节两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析02

与西蒙·史蒂汶的数字证明以及后来的开普勒关于面积体积的数值计算不同，伽利略的学生卡瓦列里在《不可分量几何学》中完全不强调代数和算术的要素及其作用，认为面积和体积是直观清楚的几何概念。他总是只求这些面积和体积之比，而不单独去求它们的数值。他用几何证明的方法证明了伽利略在物理解释中所使用的欠精细的不可分量概念。他设想面是由条数不定的等距的平行线段所构成，立体是由等距的平行平面所构成，类似于一块棉布中平行的棉纱，或者一本书的书页。而且，这些元素分别作为面积和体积的不可分量，其数量是无限多的。为了说明这一点，卡瓦列里形成了有关平行四边形中的线段和组成它的三角形的一些定理并加以证明。但尽管如此，卡瓦列里并没有解释清楚到底什么是不可分量，尤其没有解释清楚一堆没有厚薄的元素怎样可以组成面积和体积（比喻只能是一种比喻，不是严格的证明）。因此总的来说，卡瓦列里对无限性的认识持一种不可知论的态度。但有意味的是，正是这种不可分量的观点，使得卡瓦列里放弃严密的穷竭法而改用粗糙的不可分量法，并将这一概念与运动的观念联系起来，其定理证明的实际效果隐含着体积计算中的极限过程。或许由于这一原因，他的著作成为17世纪数学家研究几何学中无限小量问题时引用最多的书籍。

在此基础上，数学家托里拆利（Evaorricelli）追随卡瓦列里，把几何的方法发挥到极致。在《关于抛物线的维数》一书中，他给出了21个证明，其中包括阿基米德的穷竭法和不可分量法。运用这些方法，他得出了许多新的结果。其中就包括对圆柱体不可分量的证明，而这个证明步骤与积分学中所使用的步骤相似。在《关于双曲线的无限性》中，托里拆利的证明过程是按照阿基米德的方式进行的。此外，托里拆利利用运动合成确定任意整数阶抛物线的切线方法，给出了应用伽利略和卡瓦列里方法的一个显著范例。这个方法和范例触及瞬时方向的思想，因而隐含着极限概念。但是整个来看，托里拆利的数学概念中不可能有极限概念。因为他像卡瓦列里一样，其基本思想是德谟克利特的模糊的数学原子论。因此，他关于曲线与切线关系的证明，不是基于切线为变动割线的极限这种近代的观点，而是根据古代的静态定义：切线是与曲线只在一点接触的直线。[133]其中没有丝毫的运算法则思想。

至此可以看出，17世纪的数学试图在几何的框架下寻求微积分的概念基础与方法。然而，“这世纪的前三分之二的时间内，微积分的工作沉没在细节里。另外，许多人在通过几何来获得严密性的努力中，没有去利用或者探索新的代数和坐标几何中蕴含的东西，作用不大的细枝末节的推理使他们精疲力竭了”[134]。在这种情况下，一些敏锐的数学家试图突破这种困局。这些数学家中一个重要的人物就是帕斯卡。应当说，帕斯卡在他的几何学著作中显示出对几何的浓厚兴趣。他断言，无限小的几何与古希腊几何是一致的。并认为，凡是能用不可分量法证明的东西，也能用古代的方法去严格地证明。可是，他与同时代人不同的是，他对算术计算和数论也感兴趣。他的一些定理不仅是从经典几何命题中导出的，而且也是从算术三角形所表达的“拟形数”导出的。根据这样的几何考虑和三角形中的数值关系，帕斯卡进而研究指数取正整数的乘幂的和的问题。并在证明过程中，略去了低阶项。其方法是，将较低阶的不可分量的几何直观归结为计算问题，以此来证明略去某些低阶项的合理性。他甚至将几何中的不可分量与算术中的0进行比较。虽然不能说他的这种做法已经是微积分的基本原理，但他把数的理论中拟形数的和与连续量的综合几何问题联系起来，确实给出了积分学的许多结果。从这个意义上说，帕斯卡代表了在经典几何的传统下运用无限小方法的最高水平。

随着解析几何在整个欧洲数学中获得普遍承认，情况发生了实质性的转变。因为解析几何的出现，使得变化性和函数关系的概念进入了代数的领域。以求双曲线下的面积为例。由于对数的出现，等轴双曲线xy=1与自然对数和之间的奇妙联系被表现出来。即表示双曲线下的面积的函数的L（x）看起来很像是一个对数；它可以给出算术级数与几何级数之间的关系。这样一来，双曲线下的面积这个不能用初等穷竭法或不可分量法解决的问题，可以通过把几何级数逐项积分来加以解决。而这一无穷级数的形式同时告诉人们，完全可以对无穷级数进行加、减、乘、除和开方这些普通的代数运算，或者说，能够像进行普通的代数表达式（即多项式）的计算那样来处理无穷级数。显然，这对微积分来说具有重要意义：在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的任何事实，而且这个探讨问题的方式几乎成为自动的了。正是在这个意义上，恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变量。有了它，运动进入了数学，因而，辩证法进入了数学，因而微分和积分的运算也就立刻成为必要的了。”[135]

当然，问题并没有全部解决。当面临不同的微积分问题时，倾向于不同的研究方法的现象依然存在。这突出地表现在牛顿和莱布尼茨登场以前的两个重要数学家J。沃利斯（JohnWallis）和伊萨克·巴罗（IssacBarrow）身上。其中，沃利斯可能对西蒙·史蒂汶的算术极限方法极为熟悉，他企图使算术完全脱离几何表示。[136]他的《关于圆锥曲线论》和《无限算术或曲边形求积方法的研究》主要是从算术着手的。在《无限算术》中，沃利斯肯定这种算术法则对所有乘幂（包括有理的或无理的，当然-1除外）都成立。从数学方法的角度来看，这项工作不仅成为沃利斯所称的插值法和归纳法的基础[137]，也使沃利斯能够从有限中得出无限的性质的类推，并求出面积和体积作为无穷数列的极限。所有这一切，对于进一步打破毕达哥拉斯几何所产生的顽固的观点，展现微积分的算法特点，是有帮助的。然而，沃利斯的算术化倾向为同时代的数学家伊萨克·巴罗所批评。巴罗认为，算术、代数是包含于几何当中的。他倾向于费马的新分析学和卡瓦列里的模糊的不可分量，并用综合的形式叙述了一个求切线与面积的新方法。该方法比之于费马的方法更近似于求导数的运算，其所作图形对莱布尼茨微积分中为人熟知的微分三角形的形成起到了重要的作用。不过，由于巴罗没有对他的这些思想用函数和连续变量的符号来表达，他不可能像沃利斯那样形成明确的极限概念，也不可能用解析方法表示他已经初步发现的求导数和求积分之间的互逆关系。幸运的是，他的这些不足并未被他的学生牛顿所承袭。

严格说来，这一短暂的会合，并不是欧洲这一时期数学的主流，但它们确实又为欧洲数学呈现的两种方法和范式保持必要的张力，提供了前提。但问题在于，仅仅从这样的前提出发还是不够的。虽然构成微积分的基本概念是从空间直观和经验性的感性材料中产生出来的，但它又是这些直观和感性材料系统化、抽象化的产物。即使是改变了欧洲人数学范式的传统数的概念以及算术体系，这时也已经发生了质的变化。正如斯宾格勒指出的，由于函数的观念，传统算术的基本属性彻底消失了。例如，乘方最初只是数字化地表示一组相同的数值的连乘积，后来经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，已经与数量大小完全没有了联系。而且，函数改变了那种从视觉上加以界定的“数系”的可变关系。当我们看到3X+4X=5X和xn+yn=zn（费马定理的方程式）两个方程式时，它们的性质是不同的。前一个方程式由具有量的数字构成，后一个方程式则属于一种数系；前一个确立了明确的数量关系，后一个通过符号表示其中一些发生变化则另一些也会发生变化；前一个有确定的目标和确定的来量，后一个则只是一种关系，没有确定的结果，因而它并不需要运算它们的值。换句话来说，后一个方程式根本就不是实体意义上的数，而是表示一种关系的符号——缺乏数量、形状、独特意义等内涵——是表示具有相同特性的可能位置的无穷性的符号。一句话，传统的数由“量”变成了“关系”。[138]

作为17世纪微积分的真正发明者，牛顿和莱布尼茨（此处重点讨论牛顿的微积分思想）之所以比他们同时代人和前辈看得更远，是因为他们站在了巨人的肩膀上。他们两人的贡献不仅在于认识到“微积分基本定理”这个数学事实，而且还在于他们根据这个事实从以前许许多多的无穷小方法中总结出用于系统计算的强有力的算法。这其中，同样体现出两种基本的数学方法的交织使用。尽管我们已经很难廓清这样两种方法的原有脉络。

值得注意的是，沃利斯与巴罗两人截然对立的研究方法都对牛顿产生了突出的影响。但整个来看，在早期，牛顿似乎受到前者的影响更大一些。正如他本人承认的，他在分析和流数（fluxion）方面的第一次发现是受了沃利斯的《无限算数》的启发，还有圣·文森特的格雷戈里（GregoryofSt。Vi）等人的影响。后者的无穷级数研究是牛顿增强流数法有效性的一个重要因素。因为这种级数的使用有助于流数法的广泛应用，并帮助消除几何上的成见。此外，沃利斯的归纳法和插值法原理也对牛顿的二项式定理的发现起到了积极作用。当然，二项式系数的表示法最初是由“帕斯卡三角形”得出的。当时是正整数的。其中每一个数都是上一行中邻近的左、右两个数之和。第n行（从0开始，由上往下计数）中的那些数就是（1+x）n的二项展开式中x的各次幂的系数。虽然牛顿后来在研究中将原来的二项式推广到n为非整数的情况，但所用的方法形如在帕斯卡三角形的各行和各列之间进行的插值。首先，他用沃利斯列表插值法求出圆弓形和曲线弓形的面积。然后，他把这些求积结果逐项微分，发现了二项级数。最后，为了验证二项级数，他提出了人们熟知的数的长除法和开方法的代数形式。正是在这个意义上，牛顿认为微积分是代数的扩展，是“无穷”的代数，或者是具有无穷个项的代数。对此，C。H。爱德华评论说：“仅仅是二项级数的发现，就已在促使无穷级数成为一个有效的数学工具方面起到了重要的作用，并用提供了一系列新的、有用的无穷级数。”[139]

也应当看到，巴罗的影响同样是明显的。例如，巴罗认为时间的特性是匀速流动的，而牛顿在《流数法与无穷级数》中也把瞬时变化率看作类似于速度概念的东西，并在几何地和分析地运用无限小方面，采用的是面积的无限小矩形或“瞬”（moment）的思想。虽然牛顿求面积的表达式无需由无限小面积之和来决定，也不需要用他以前的数学家从安提丰到帕斯卡所用的等价方法，而是通过考虑在所论点处的面积瞬时增量而得到，但整个来看，“流数”概念的引入对于早期的工作并不是一个本质的修正。到了牛顿出版《自然哲学的数学原理》一书时，他完全采用综合几何证明的叙述形式，而几乎没有一点分析的计算。更为重要的是，牛顿的极限观点像其他早期作者那样，是采用几何直观的。例如他说，“弧、弦和切线任何两个相互的最终比是等量的比”以及“逐渐消失的三角形的最终形式”的相似性等，就是如此。在《普遍的算术》（1707）中，牛顿甚至说：“方程是算术计算的表达式，它在几何里，除了表示真正几何量（线，面，立体，比例）间的相等关系以外，是没有地位的。近来把乘、除和同类的计算法引入几何，是轻率的而且是违反这一科学的基本原则的……因此这两门科学不容混淆，近代人混淆了它们，就失去了简单性，而这个简单性正是几何的一切优点所在。”[140]这些话使人们看到了一个作为矛盾综合体的牛顿。

下面我从数学认知的角度对牛顿微积分中的若干核心概念和术语的生成作一些剖析。这些核心概念和术语是“瞬”（这使我们联想到印度佛教中的“刹那”）“极限”（limit）“消失增量”等。在《运用无穷多项方程的分析学》小册子中，牛顿假定有一条曲线，而且曲线下的面积z已知是

其中m是整数或者分数。他把x的无限小的增量叫作x的“瞬”，并按数学家詹姆斯·格雷戈里的记法，令横坐标的瞬或无限小增量为o。如果采用费马的符号E，牛顿的表示法相当于由曲线、x轴、y轴和x+o处的纵坐标围成的面积，他用z+oy表示，其中oy是面积的瞬。则

运用二项式定理于右边，当m是分数时，得到一个无穷级数，从②减去①，用o除方程的两边，略去含有o的项，就得到

y=maxm-1

因此，用现在的话来说就是，面积在任意x点的变化率是曲线在x处的y值；反过来，如果曲线是y=maxm-1，那么，在它的下面的面积就是z=axm。这就是牛顿表述的微积分基本定律。（见图13-8）

图13-8牛顿计算曲线下面积示意图

在这里，用来表示瞬的“o”，显然不是被归结为毫无意义的0的运算，即它不是费马微分学中作为0的“E”（因而与印度数学家婆什迦罗的方式也有所不同）。用牛顿自己的话来说，o只是一个具有流动性的“消失增量”。但是，在实际的推导过程中，它又是作为无限小的0而使用的。这个过程在马克思看来，是一个类似于“暴力的镇压”或一次“政变”的过程，因为它武断地去掉了含有o的项，尽管它后来的计算结果是正确的。这样，在逻辑上就产生了一个矛盾：无穷小究竟是0还是非0呢？如果它是0，怎么能用它去作除法呢？如果它不是0，又怎么能把包含它的那些项去掉呢？显然，牛顿关于o的概念是不够清晰的。

从认知上来说，造成这种状况的原因在于两种不同数学方法或思维方式之间构成的内在矛盾。波耶说，算术观念和几何观念的混杂，是牛顿和莱布尼茨工作中导致许多含糊不清的根源。但我认为这种矛盾还应包括感觉经验与思维抽象、形象类比与逻辑推理等的方面。一方面，从感觉经验、形象类比、算术计算来说，近代以来的一些数学概念的提出，如无穷小量，均与人类的经验活动和感性材料有关。而短程测地学、航海学、日历计算、天体预测、抛物体的运动以及透镜设计等又需要大量的数量知识和计算方法。许多时候，人们需要突破传统观念的束缚，通过大胆的想象和类比，提出一些新的概念和想法来，其中包括通过一些想象来构造某些有用的“虚构物”，以解决现实中的难题。在这点上，牛顿保持了英国人经验主义的研究传统，并从经验事物的类比中提出一些革命性的概念。例如，“瞬”的概念就与物体的加速度运动的类比有关，而“消失增量”“最初比与最终比”等，则是瞬时速度的“形象化”。这当中，算法的思想和形象化的认知方式无疑促成了这些概念的生成。此外，在解决问题方面，算术计算具有实用的价值，是一种有效的方法，尽管逻辑上不见得都是那么严谨的。

总之，对于17世纪以来的大多数人来说，严密性不是他们所关心的事情。因而，微积分的逻辑基础工作在当时并没有全部完成。人们的着重点在于创造能够解决问题的有用的方法。正如皮卡（EmilePicard）所说的那样：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微积分将无以产生。”[150]的确，严谨的思想、逻辑的方法也可能阻碍创造。直到整个18世纪，数学家泰勒、欧拉、伯努力以及傅里叶等人的工作，主要还是寻求有效的算法，而不是求得严格的逻辑证明；虽然其间充满着争论，但却激发着思维的创造。到了19世纪，由于数学分析的算术化倾向（逻辑基础的缺乏恰恰是因为人们试图过多地采用几何的方法而不是算术和代数方法造成的，这似乎是一个悖论），人们才进一步地看到，微积分的确还需要概念的逻辑基础，先于一切直观或分析的关于极限的概念，可以引进数学中而无损于逻辑的相容性。

[1]〔法〕罗斑：《希腊思想和科学精神的起源》，陈修斋译，北京，商务印书馆，1965，第84页。

[2]梁宗巨：《数学历史典故》，沈阳，辽宁教育出版社，1992，第204页。

[3]〔古希腊〕柏拉图：《柏拉图全集》（第三卷），王晓朝译，北京，人民出版社，2003，第308页。

[4]〔美〕马里奥·利维奥：《φ的故事：解读黄金比例》，刘军译，长春，长春出版社，2003，第83页。

[5]〔古希腊〕欧几里得：《几何原本》，兰纪正、朱恩宽译，西安，陕西科学技术出版社，2003，第58页。

[6]〔古希腊〕欧几里得：《几何原本》，兰纪正、朱恩宽译，西安，陕西科学技术出版社，2003，第102页。

[7]梁宗巨：《数学历史典故》，沈阳，辽宁教育出版社，1992，第206页。

[8]（清）江慎修：《河洛精蕴》，孙国中点校，北京，学苑出版社，1989，第189页。

[9]蒋谦：《试论“洛书勾股图”中的类斐波那契数列》，载杨怀中主编：《科技文化与社会现代化研究》，武汉，武汉理工大学出版社，2004，第307～316页。

[10]北京大学哲学系中国哲学史教研室选注：《中国哲学史教学资料选辑》（上册），北京，中华书局，1981，第178页。

[11]参见李树菁：《周易象数通论》，商宏宽整理，北京，光明日报出版社，2004，第267页。

[12]当然，能否将“一分为二”表示为数学上的连分数，是可以讨论的。我认为，从分形学的角度看，这样表示也有其合理性。

[13]路甬祥主编：《中国古代科学技术史纲》（数学卷），沈阳，辽宁教育出版社，2000，第366～373页。

[14]〔美〕T。帕帕斯：《数学趣闻集锦》（上），张远南、张昶译，上海，上海教育出版社，1998，第42页。