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第二 两种数学认知方式在近代微积分形成中的作用分析02（第2页）

[15]参见萧昌建：《黄金分割研究中的误区》，载《成都大学学报》（自然科学版）1996年第4期；王汝发：《再谈“中国古代数学中的‘黄金分割率’”——与蒋谦、李思孟先生商榷》，载《自然辩证法研究》2004年第7期。

[16]〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第一册），张理京、张锦炎译，上海，上海科学技术出版社，1979，第57页。

[17]〔德〕开普勒：《世界的和谐》，载〔英〕斯蒂芬·霍金：《站在巨人的肩上》（下卷），张卜天等译，沈阳，辽宁教育出版社，2004，第700页。

[18]19世纪中期，法国数学家雅克·菲丽普比内（1786～1856）又建立了一个重要的公式：

通过这个公式可以得到任何斐波那契数列的数值。见〔美〕马里奥·利维奥：《φ的故事：解读黄金比例》，刘军译，长春，长春出版社，2003，第124页。

[19]梁宗巨：《数学历史典故》，沈阳，辽宁教育出版社，1992，第205页。

[20]周持中：《斐波那契—卢卡斯序列及其应用》，长沙，湖南科学技术出版社，1993，第1页。

[21]〔美〕M。克莱因：《西方文化中的数学》，张祖贵译，上海，复旦大学出版社，2004，第364页。

[22]刘式达等：《自然科学中的混沌和分形》，北京，北京大学出版社，2003，第65页。

[23]蒋谦、李思孟：《简论中国古代数学中的“黄金分割率”》，载《自然辩证法研究》2003年第11期。

[24]“开方作法本源图”运用筹算制进行数学排列，人们很难从中直观地找到斐波那契数列。人们是通过帕斯卡三角形发现其中的斐波那契数列的。

[25]可参见第七章第四节有关勾股定理发现与运用的相关讨论。

[26]〔德〕康德：《未来形而上学导论》，厐景仁译，北京，商务印书馆，1978，第8页。

[27]〔德〕伊曼努尔·康德：《纯粹理性批判》，李秋零译，北京，中国人民大学出版社，2004，第538～539页。

[28]〔美〕斯图尔特·夏皮罗：《数学哲学——对数学的思考》，郝兆宽、杨睿之译，上海，复旦大学出版社，2009，第22页。

[29]〔法〕列维-布留尔：《原始思维》，丁由译，北京：商务印书馆，1981，第177页。

[30]〔美〕鲁道夫·阿恩海姆：《视觉思维》，滕守尧译，北京，光明日报出版社，1987，第318页。

[31]〔英〕布赖恩·巴特沃思：《数学脑》，吴辉译，上海，东方出版中心，2004，第208页。

[32]转引自〔美〕M。克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，长沙，湖南科学技术出版社，2007，第86页。

[33]恩格斯：《自然辩证法》，于光远等译编，北京，人民出版社，1984，第222页。

[34]转引自马克思：《数学手稿》，北京大学《数学手稿》编译组编译，北京，人民出版社，1975，第229页。

[35]〔美〕M。W。瓦托夫斯基：《科学思想的概念基础——科学哲学导论》，范岱年译，求实出版社，1982，第201页。

[36]SasakiChikara：“WhatAreRevolutionsiigUyNovember，2005，15。

[37]〔美〕M。克莱因：《古今数学思想》（第一册），张理京、张锦炎译，上海，上海科学技术出版社，2002，第226页。

[38]转引自〔英〕大卫·布鲁尔：《知识与社会意象》，艾彦译，北京，东方出版社，2001，第176～177页。

[39]转引自〔美〕斯图尔特·夏皮罗：《数学哲学——对数学的思考》，郝兆宽、杨睿之译，上海，复旦大学出版社，2009，第201页。

[40]弗雷格指出：“算术定律是分析判断，因而是先验的。这样，算术就会仅仅是一种扩展形式的逻辑，每个算术句子就会是一条逻辑定律，然而是一条导出的定律。把算术用于对自然的解释，相当于对观察的事实进行逻辑加工，计算就会成为推理。”见〔德〕G。弗雷格：《算术基础》，王路译，北京，商务印书馆，1998，第105页。

[41]数学家阿尔贝尔·科法（1991）指出，19世纪以来哲学关注的重点不是康德关于时间与空间的直观而是数学是经验的（因而是后天的）和数学是分析的。见〔美〕斯图尔特·夏皮罗：《数学哲学——对数学的思考》，郝兆宽、杨睿之译，上海，复旦大学出版社，2009，第103页。

[42]转引自林夏水：《数学哲学》，北京，商务印书馆，2003，第313页。

[43]林夏水：《数学哲学》，北京，商务印书馆，2003，第344页。

[44]吴文俊：《吴文俊文集》，济南，山东教育出版社，1986，第6页。

[45]吴文俊：《吴文俊文集》，济南，山东教育出版社，1986，第8页。

[46]恩格斯：《自然辩证法》，于光远等译编，北京，人民出版社，1984，第158页。

[47]〔美〕卡尔·B。波耶：《微积分概念史》，上海师范大学数学系翻译组译，上海，上海人民出版社，1977，第6页。